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對勾函數裏最小值怎麽證明出來的?

證明:對勾函數 y=x+a/x ?(a>0)

當x>0時,當x=√a時,y有最小值2√a

證明如下:

x+a/x-2√a

=(√x)?-2√x*√(a/x)+[√(a/x)]?

=[√x-√(a/x)]?≥0

∴ x+a/x≥2√a,等號當x=√a時成立

∴ x=√a時,y有最小值2√a

對勾函數是壹種類似於反比例函數的壹般雙曲函數,是形如f(x)=ax+b/x(a>0,b>0)的函數。由圖像得名,又被稱為“雙勾函數”、“勾函數”、"對號函數"、“雙飛燕函數”等。因函數圖像和耐克商標相似,也被形象稱為“耐克函數”或“耐克曲線”。

這裏有個規定:當且僅當ax=b/x時取到最小值,解出x=sqrt(b/a),對應的f(x)=2sqrt(ab)。我們再來看看均值不等式,它也可以寫成這樣:(a+b)/2≥sqrt(ab),前式大家都知道,是求平均數的公式。那麽後面的式子呢?也是平均數的公式,但不同的是,前面的稱為算術平均數,而後面的則稱為幾何平均數,總結壹下就是算術平均數絕對不會小於幾何平均數。

上述研究都是建立在x>0的基礎上的,不過對勾函數是奇函數,所以研究出正半軸圖像的性質後,自然能補出對稱的圖像。如果出現平移了的問題(圖像不再規則),就先用平移公式或我總結出的平移規律還原以後再研究,這個能力非常重要,壹定要多練,爭取做到特別熟練的地步。

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