二項式定理1665年，年僅22歲的牛頓發現了二項式定理，這是微積分全面發展必不可少的壹步。二項式定理將通過直接計算得到的簡單結果推廣到以下形式。二項式級數展開是研究級數理論、函數理論、數學分析和方程理論的有力工具。今天我們會發現這種方法只適用於n為正整數的情況，當n為正整數1，2，3，...，並且該系列恰好在n+1處結束。如果n不是正整數，數列不會結束，此方法不適用。但要知道，萊布尼茨是在1694年才引入函數這個詞的。在微積分的早期階段，用超越函數的層次來對待超越函數是最有效的方法。牛頓在數學上最傑出的成就是創立了微積分。他的突出成就是把古希臘以來各種解決無窮小問題的特殊技巧統壹為兩種通用算法——微分和積分，並建立了這兩種運算之間的互逆關系。比如面積計算，可以看作是求切線的逆過程。當時萊布尼茨剛剛提出微積分的研究報告，引發了微積分發明專利權的爭論，直到萊布尼茨去世。而後世已經認定，差積是他們同時發明的。在微積分的方法上，牛頓極其重要的貢獻在於，他不僅清楚地看到了，而且大膽地使用了代數所提供的方法論，這是比幾何優越得多的。他用代數方法代替了卡瓦列裏、格雷戈裏、惠更斯和巴羅的幾何方法，完成了積分的代數化。此後，數學逐漸從感覺的學科轉向思維的學科。在微積分早期，因為沒有建立堅實的理論基礎，所以被壹些喜歡思考的人研究。這導致了著名的第二次數學危機。這個問題直到19世紀極限理論建立才得以解決。方程理論和變分法牛頓還對代數做出了經典貢獻，他的廣義算術極大地促進了方程理論。他發現實多項式的虛根必須成對出現，並發現了多項式根的上界規律。他用多項式的系數表示了多項式的根的和公式，並給出了限制實多項式虛根個數的笛卡兒符號法則的推廣。牛頓還設計了求數值方程和超越方程的實根的近似值的對數的方法。這種方法的修改現在被稱為牛頓法。牛頓在力學領域也有重大發現，力學是解釋物體運動的科學。第壹運動定律是伽利略發現的。這個定律說明，如果壹個物體處於靜止或勻速直線運動，只要沒有外力，它就會保持靜止或繼續勻速直線運動。這個定律也被稱為慣性定律，它描述了力的壹個性質:力可以使壹個物體從靜止運動到運動，從運動到靜止，也可以使壹個物體從壹種運動形式變為另壹種運動形式。這就是所謂的牛頓第壹定律。力學中最重要的問題是物體在相似的情況下如何運動。牛頓第二定律解決了這個問題；這個定律被認為是經典物理中最重要的基本定律。牛頓第二定律定量描述了力可以改變物體的運動。表示速度的時間變化率(即加速度A與力F成正比，但與物體質量成反比，即a=F/m或F = Ma力越大，加速度越大；質量越大，加速度越小。力和加速度都有大小和方向。加速度是由力引起的，方向與力相同；如果有幾個力作用在壹個物體上，合力就會產生加速度。第二定律是最重要的，所有的冪的基本方程都可以通過微積分從中推導出來。此外，牛頓根據這兩個定律制定了第三定律。牛頓第三定律指出，兩個物體之間的相互作用總是大小相等，方向相反。對於直接接觸的兩個物體來說，這個定律更容易理解。書對子桌子的向下壓力等於桌子對書的向上支撐，即作用力等於反作用力。重力也是如此。飛行中的飛機拉起地球的力在數值上等於地球拉下飛機的力。牛頓運動定律廣泛應用於科學和動力學中。牛頓運動定律牛頓運動定律是艾薩克·牛頓提出的物理學三大運動定律的總稱，被視為經典物理學的基礎。牛頓第壹定律(慣性定律:所有物體在沒有任何外力的情況下總是保持勻速直線運動或靜止狀態，直到有外力迫使它們改變這種狀態。——它闡明了力與運動的關系，提出了慣性的概念)，“牛頓第二定律(物體的加速度與作用在物體上的合力F成正比，與物體的質量成反比，加速度的方向與合力的方向相同。公式:F=kma(當m的單位為kg，a的單位為m/s2時，k=1)牛頓第三定律(同壹直線上兩個物體之間的作用力和反作用力大小相等，方向相反)。牛頓法又稱牛頓-拉夫遜法，是牛頓在17世紀提出的壹種在實部和復部近似求解方程的方法。大部分方程都沒有求根的公式，所以很難甚至不可能找到精確的根，所以求方程的近似根就顯得尤為重要。方法利用函數f(x)的泰勒級數的前幾項求方程f(x) = 0的根。牛頓叠代法是求方程根的重要方法之壹。它最大的優點是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂，還可以用來求方程的重根和復根。此外，這種方法在計算機編程中應用廣泛。設r為f(x) = 0的根，選取x0為r的初始近似值，使曲線y = f(x)的切線L通過點(x0，f(x0))。L的方程為y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求L與X軸交點的橫坐標。交點(x1，f(x1))作為曲線y = f(x)的切線，切線與x軸的交點橫坐標為x2 = x 1-f(x 1)/f '(x 1)，稱為x2。重復上述過程得到R的近似序列，其中x(n+1)= x(n)-f(x(n))/f’(x(n))，稱為R的n+1近似，上述公式稱為牛頓叠代公式。求解非線性方程f(x)=0的牛頓法是壹種將非線性方程線性化的近似方法。將f(x)展開為泰勒級數f(x)= f(x0)+(x-x0)f '(x0)+(x-x0)2 * f ' '(x0)/2！+…取其線性部分為非線性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展開的前兩項，則F (x0)+F' (x0) (x-x0) = F (x) = 0設f'(x0)≠0，解為X1 = x0。光學貢獻牛頓望遠鏡在牛頓之前，墨子、培根、達芬奇等人都研究過光學現象。反射定律是人們早就知道的光學定律之壹。現代科學興起時，伽利略通過望遠鏡發現了“新宇宙”，震驚世界。荷蘭數學家斯冷笑首先發現了光的折射定律。笛卡爾提出了光的粒子理論...與他幾乎同時代的牛頓、虎克、惠更斯也像伽利略、笛卡爾壹樣，懷著極大的興趣和熱情研究光學。1666年，牛頓在家休假時，得到了壹個棱鏡，他用這個棱鏡做了著名的色散實驗。壹束太陽光通過棱鏡後，被分解成幾種顏色的光譜帶。牛頓用狹縫擋板擋住了其他顏色的光，只讓壹種顏色的光通過第二個棱鏡，結果只有同色的光。就這樣，他發現了白光是由不同顏色的光組成的，這是第壹個重大貢獻。為了驗證這壹發現，牛頓試圖將幾種不同的單色光組合成白光，並計算出不同顏色光的折射率，準確地解釋了色散現象。物質的顏色之謎被解開了。原來，物質的顏色是不同顏色的光在物體上的反射率和折射率不同造成的。公元1672年，牛頓在《皇家學會哲學雜誌》上發表了他的研究成果，這是他發表的第壹篇論文。許多人研究光學是為了改進折射望遠鏡。牛頓發現了白光的構成，認為折射式望遠鏡鏡片的色散現象無法消除(後來有人用不同折射率的玻璃制成的鏡片消除了色散現象)，於是設計制造了反射式望遠鏡。牛頓不僅擅長數學計算，而且能夠自己制作各種實驗設備，做精細的實驗。為了制作望遠鏡，他設計了研磨拋光機，試驗了各種研磨材料。1668年，他做出了第壹臺反射式望遠鏡樣機，這是第二大貢獻。1671年，牛頓將改進後的反射式望遠鏡贈送給皇家學會，這使他名聲大振，當選為皇家學會會員。反射望遠鏡的發明奠定了現代大型光學天文望遠鏡的基礎。同時，牛頓還進行了大量的觀測實驗和數學計算，如研究惠更斯發現的冰川石的異常折射現象、胡克發現的肥皂泡的顏色現象、牛頓環的光學現象等等。牛頓還提出了光的“粒子說”，認為光是由粒子形成的，走最快的直線運動路徑。他的“粒子論”和惠更斯的“波動論”後來形成了關於光的兩個基本理論。此外，他還制作了牛頓色輪和其他光學儀器。牛頓是經典力學理論的大師。他系統地總結了伽利略、開普勒和惠更斯的工作，得到了著名的萬有引力定律和牛頓運動三定律。在牛頓之前，天文學是最突出的學科。但是為什麽行星壹定要按照壹定的規律繞太陽運行呢？天文學家無法完全解釋這個問題。萬有引力的發現表明，天上的星星和地上的物體的運動受同壹規律支配——力學規律。早在牛頓發現萬有引力定律之前，很多科學家就已經認真考慮過這個問題。例如，開普勒意識到壹定有壹種力在起作用，使行星沿著橢圓軌道運行。他認為這種力類似於磁力，就像磁鐵吸引鐵壹樣。1659年，惠更斯通過研究鐘擺的運動發現，需要壹個向心力來保持物體在圓形軌道上運動。胡克等人認為是引力，並試圖推導出引力與距離的關系。1664年，胡克發現當彗星接近太陽時，由於太陽的引力，它們的軌道是彎曲的。1673年，惠更斯推導向心力定律；1679年，胡克和哈雷從向心力定律和開普勒第三定律推導出維持行星運動的引力與距離的平方成反比。牛頓自己回憶說，1666左右，他在家鄉生活的時候就已經考慮過引力的問題。最著名的壹句話是，牛頓經常在假期裏在花園裏坐壹會兒。壹次，就像過去多次發生的那樣，壹個蘋果從樹上掉了下來...壹個蘋果的意外落地，是人類思想史上的壹個轉折點，打開了坐在花園裏的人的思維，引發他深思:所有物體幾乎都被地心吸引的原因是什麽？牛頓沈思著。最後，他發現了對人類具有劃時代意義的萬有引力。牛頓的高明之處在於，他解決了胡克等人無法解決的數學論證問題。1679年，胡克寫信給牛頓，問他能否根據向心力定律和引力與距離的平方成反比定律證明行星在橢圓軌道上運動。牛頓沒有回答這個問題。1685年，哈雷拜訪牛頓的時候，牛頓已經發現了萬有引力定律:兩個物體之間存在引力，與距離的平方成反比，與兩個物體質量的乘積成正比。當時有地球半徑、日地距離等精確數據可供計算。牛頓向哈雷證明了地球引力是使月球繞地球運動的向心力，也證明了行星運動在太陽引力作用下符合開普勒運動三定律。在哈雷的催促下，1686年底，牛頓寫出了劃時代的巨著《自然哲學的數學原理》。皇家學會資金短缺，無法出版這本書。後來，科學史上最偉大的著作之壹在哈雷的支持下於1687年出版。在這本書裏，牛頓從力學的基本概念(質量、動量、慣性、力)和基本定律(運動三定律)出發，不僅從數學上論證了萬有引力定律，而且將經典力學確立為壹個完整而嚴密的體系，將天體力學與地面物體力學統壹起來，實現了物理學史上的第壹次大綜合。牛頓的物質不滅三定律說物質的質量是不滅的；能量守恒定律是關於物質的能量守恒。
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