本節的主要內容是相似三角形的性質，這也是本章的主要內容之壹。在研究相似三角形判定的基礎上，進壹步研究三角形的性質，從而完成對相似三角形的定義、判定和性質的全面研究。
1.相似三角形的性質
(1)個相似三角形對應的角度相等，對應的比例成正比。
(2)相似三角形與高度之比、與中心線之比和與角平分線之比都等於相似比。
(3)相似三角形的周長比等於相似比。
以上幾項可以總結為:相似三角形中對應線段的比值等於相似比。
(4)相似三角形面積之比等於相似三角形相似比的平方。
2.相似三角形性質的應用。
(1)可用於證明線段成比例(或等積線段)且角度相等。
(2)從相似三角形中的壹些已知元素中找出未知元素(邊、高、角平分線、中線、角)。
(3)用於計算周長、面積等。
(4)用於證明線段的等分(或面積比)。
重點難點分析
示例1如圖5.5-1所示。已知△ABC∽△a′b′c′，點d和d′是BC和b′c′的中點，AE⊥BC在e，a′e′⊥b′c′在e
分析要求△ADE與△a′d′e′相似，這兩個三角形是直角三角形。判斷直角三角形的相似定理，只需要證明斜邊和直角三角形成比例，斜邊和直角三角形分別正好是△ABC和△a′b′c′的中線和高(即兩個相似三角形對應的線段)。
證明了:△ABC∽△a′b′c′ad和a′d′分別為中線，AE和a′e′分別為高。
∴= =∴rt△ade∽rt△a′d′e′
例2如圖5.5-2所示。在△ABC，EF‖BC，ef = BC = 2cm，△AEF的周長是10cm。求梯形BCFE的周長。
在分析中，我們可以從EF= BC得到=即相似比，然後從相似三角形性質得到△ABC的周長。兩個周長之差加上EF的長度就是梯形BCFE的周長。
解:ef =公元前∴ =
公元前∴△AEF∽△ABC
∴ = =
∴ =
∴△ABC周長= 15(厘米)
梯形BCFE的∴周長= △ ABC周長-△AEF周長+2EF
=15-10+4=9(厘米)
例3如圖5.5-3所示。在△ABC，DE‖BC，s △ ade ∶ s △ ABC = 4 ∶ 9中，①求AE∶EC；②求S△ADE∶S△CDE。
本文分析了相似三角形的性質、它們的組合比例以及三角形面積的計算公式。比值由=得到，然後由比例相關性質得到AE∶EC、△ADE和△CDE的高度，AE∶EC由三角形面積計算公式得到。
解決方案:①卑詩省∴△ADE∽△ABC
∴ = ∴ =
∴ = =
即=
②連接CD，將d交叉為DH⊥AC，將AC交叉為h
= = =
例4如圖5.5-4所示，已知m是□ABCD的AB邊的中點，CM在E點與BD相交，那麽圖中陰影面積與平行四邊形ABCD的比值是多少？
這是壹道綜合試題，考查相似三角形的性質、面積計算和等積定理等。設DN⊥AB在n，e在f，GF⊥AB在f .
∫M是AB的中點。
∴S△AMD=S△DMB= S△ABD= S□ABCD
∫s△MBD = s△MBC(兩個底高相同的三角形面積相同)
∴ s △ MBD-s △ MBE = s △ MBC-s △ MBE，即s △ DME = s △ CBE。
∵MB‖DC,∴△BEM∽△DEC
= =，因此=
∵DN=GF,∴ =
又來了:= =
∴ =，即S△DME= S△MBD。
∴S△DME= × S□ABCD= S□ABCD
∴s△dme+s△bmc= s□ABCD+s□ABCD = s□ABCD
因此，圖5.5-4中陰影面積與平行四邊形面積之比是。
例5如圖5.5-5，將正方形ABCD的邊BC延伸到E，使CE = AC，AE和DC相交於F點，求CE∶FC的值。
這是壹道考查運用相似三角形的性質解題能力的考題。設正方形的邊長ABCD為A，則AC = A，AB = A，BE =+1) A .
解:∫DC‖ab，∴△ECF∽△EBA，=，從而= =+1，即EC ∶ FC = (+1) ∶ 1。
例6如圖5.5-6，□ABCD，其中E為BC上面的壹點，AE在F點與BD相交，已知Be ∶ EC = 3 ∶ 1，S △ FBE = 18，求S△FDA。
通過分析給定的條件，我們很容易得到△FBE∽△FDA。那麽，從Be ∶ EC = 3 ∶ 1，我們就很容易得到Be ∶ AD = 3 ∶ 4，因為相似三角形的面積比等於相似比的平方，所以就得到S△FDA。
解:從□ABCD，得到BE‖AD ∴△FBE∽△FDA.
∵BE∶EC=3∶1 ∴BE∶BC=3∶4
∵公元前=公元，∴比∶公元= 3 ∶ 4。
∴ = () 2，也就是= () 2。
∴S△FDA= =32。
解決困難的巧妙方法
示例1如圖5.5-7所示。在△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 8 cm，AC = 6 cm，C是圓心，CA是半徑，那麽AD的長度是多少？
本題分析是壹個綜合題，考查的知識點有相似三角形的判斷和性質、等腰三角形的性質等。要求AD，我們發現△CAD鏈接CD後是壹個等腰三角形，要求等腰三角形底邊的長度。所以，如果我們想到e中的CE⊥AB，AE= AD，如果能找到AE的長度，問題就解決了。因此，我們只需要證明△ AEC ?.
解決方法:制作e調的CE⊥AB，連接CD。
CA = CD
∴ AE = AD，也就是AD = 2AE。
AB = 10是由已知條件和勾股定理得到的。
∠∠ACB =∠AEC，∠A=∠A
∴△AEC∽△ABC
∴ =
∴ ac2 = AE ab，即62 = AE× 10。
所以AE = 3.6(厘米)
∴AD=7.2(cm)
例2如圖5.5-8所示。在△ABC，DE‖BC中，從AB中取壹點f，使S △ BFC = S △ Ade，驗證:Ad2 = AB BF。
證據:公元前∴△ADC∽△ABC.
∴ =
∴s△ade=s△bfc :=
並且= =
= = BF，即Ad2 = AB BF。
摟抱:解決這個問題的關鍵是利用相似三角形的性質和三角形的面積計算公式，找出比例公式或乘積公式。
例3如圖5.5-9所示。矩形FGHN內接△ABC，f和g在BC上，n和h分別在AB和AC上，AD⊥BC在d上，NH在e上，AD = 8 cm，BC = 24 cm，NF ∶ NH = 1 ∶ 2。求這個矩形的面積。
解決方案:∴△ANH∽△ABC不列顛哥倫比亞省
AE和AB分別是△ANH和△ABC的高度。
∴ =
設nf = x，那麽NH = 2x。
AE=AD-ED=8-x
∴ =
解:x = 4.8
∴2X=9.6
∴S直角坐標ABCD = NH NH = 9.6× 4.8 = 46.08 (cm) 2
指點:利用相似三角形的性質得到壹個比例公式，然後通過量的轉換將比例公式的若幹個未知數轉化為壹個未知數，用代數的方法解決壹些計算問題。是解決問題的重要方法。
教科書問題解決
示例1如圖5.5-10所示。在矩形ABCD中，AB=a，BC = B，m是BC的中點，DE⊥AM和e是垂足。驗證:DE=。(P248B.2)。
分析表明，由△ADE∽△MAB可得AD ∶ AM = DE ∶ AB，DE與A和b相關聯.
證明:根據直角ABCD，∠ B = 90 ad ‖ BC。
∴∠DAE=∠AMB
∵DE⊥AM ∴∠DEA=∠B=90
∴△ade∽△mab :=
ad = a，ab = b，m為BC的中點。
∴AM= = =
∴DE= =
命題趨勢分析
該部分中考重點是綜合運用相似三角形的判定、性質定理等幾何知識進行計算和證明，通常是證明比例線段、等積線段，求三角形的邊長和面積。
典型熱點問題
例1如圖5.5-11，在□ABCD中，AE ∶ EB = 1 ∶ 2，S △ AEF = 6cm2，則S△CDF的值為()。
a . 12 cm2 b . 24 cm2 c . 54 cm2 d . 15 cm2
分析類似於上面的例子，但是有壹些變化。由AE ∶ EB = 1 ∶ 2，AE ∶ AB = 1 ∶ 3。
解:∫□AB=CD，ab = CD，∴ AE ∶ CD = 1 ∶ 3。
∵AE‖CD,∴△AEF∽△CDF
∴ =( )2,
也就是= () 2
∴ s △ CDF = 54 (cm) 2，所以c .
例2如圖5.5-12，在△ABC，AB = 7，AD = 4，∠ ACD = ∠ B，求AC的值。
分析本題，考察應用相似三角形基本性質的能力。
解:∫∠A為角度∠ ACD = ∠ B，
∴△ACD∽△ABC ∴ =，
也就是ac2 = ad ab。
∴AC=
=
= 2(減去根)。
例3如圖5.5-13，在△ABC，DE‖BC，S△ADE∶S四邊形BCED = 1 ∶ 2，BC = 2。求DE的長度。
分析本題，考察應用相似三角形的性質解決實際計算問題的能力。
∵DE‖BC,∴△ADE∽△ABC.
需要DE的長度，因為BC的長度是已知的，所以只需要相似比的值。由S△ADE∶S四邊形BCED = 1 ∶ 2可知，S △ ade ∶ S △ ABC = 1 ∶ 3。對比相似三角形的面積比和相似比之間的關系，不難發現。解題思路順暢。
解:∫S△ADE∶S四邊形BCED = 1 ∶ 2。
∫S△ADE∶S△ABC = 1∶3
和公元前\de \u年，
∴△ADE∽△ABC.∴DE∶BC=1∶
∫公元前=2 ∴DE= =2
例4如圖4.4-14所示，過△ABC的頂點C是分別與AB邊和中線AD在F點和E點相交的直線，交點D是DM‖FC與AB在m點相交.
(1)若S△AEF∶S四邊形MDEF = 2 ∶ 3，求AE∶ed；
(2)驗證:AE FB = 2af ed。
解析(1)這是壹個綜合能力測試。如果測試中有平行條件，會發現相似的三角形。測試中給出的面積比可以轉化為相似三角形的面積比。有了面積比，就可以得到相似比，再進行變換，就可以求解(1)。(2)證明等積公式，可以轉化為等比公式，其實就是平行線。
解:(1)∫S△AEF∶S四邊形MDEF = 2 ∶ 3。
∴S△AEF∶S△ADM=2∶5
∫DM‖cf ∴△aef∽△adm
∴ =
= = =
所以AE ∶ ed = (+2) ∶ 3。
(2)證明:∫DM‖cf∴=
∴ =
∫d是BC的中點∴M是FB的中點，即2fm = FB。
∴ =，即AE FB = 2af ed。
本周強化練習:
同步大綱練習
壹、填空
1.如果相似三角形對應邊的比是1∶3，則它們的面積比是。
2.給定兩個相似三角形的相似比是，它們對應的高度之比是。
3.如圖5.5-15，在△ABC和△BED中，如果= =，且△ABC和△BED的周長之差為10cm，則△ABC的周長為cm。
圖5.5-15圖5.5-16
4.如果兩個相似三角形的相似比是2∶3，它們的面積之和是13cm2，那麽它們的面積分別是。
5.如圖5.5-16所示，已知C是AB線上的壹點，△ACM和△BCN都是等邊三角形。如果AC = 3，BC = 2，BM穿過CN到D，△MCD與△BND的面積比是。
6.如果兩個相似的三角形的高度比為4 ∶ 5，那麽它們的面積比為4∶5。
7.兩個相似三角形的面積比是1: 9，所以它們對應的高比是。
8.如圖5.5-17，在△ABC，DE‖BC，=，且s △ ABC = 8cm2，則s △ ade = cm2。
9.如果兩個相似三角形的相似比是2∶3，那麽它們的面積比是。
10.如果兩個相似三角形的對應邊之比為4∶5，周長之和為18cm，那麽這兩個三角形的周長分別為cm和cm。
二、選擇題
1.如圖5.5-18，DE‖BC，and =，則△ADE與△ABC的面積比是s △ ade: s △ ABC =()。
A.2∶5 B.2∶3 C.4∶9 D.4∶25
2.如圖5.5-19，△ABC∽△ACD，相似比是2，則面積比S△BDC∶S△DAC是()。
a . 4∶1 b . 3∶1 c . 2∶1d . 1∶1
3.給定兩個相似三角形的周長分別為8和6，它們的面積比是()。
A.4∶3 B.18∶9 C.2∶ D
4.當兩個相似三角形的面積比是1: 2時，周長比是()。
A.b . 1∶c . 1∶4d . 4∶1
5.如圖5.5-20所示，Rt△ABC中∠ACB為直角，CD⊥AB在d中，下列公式錯誤的是()。
A.AC2 = AD AB B . BC2 = BD BA C . CD2 = AD DB D . AB2 = AC BC
6.在Rt△ABC，∠ AC=b = 90，CD⊥AB，豎足為d，設BC = A，AC=b，若AB = 16，CD = 6，A-B =()。
A.4 B. 8 C.8 D.4
7.滿足下列條件的兩個三角形必全等()
壹個相似且對應的中值比等於1 B .兩邊和其中壹個對角線相等。
C.這三個角相等。d .兩邊和第三邊的高度相等。
8.在ABCD的平方中，e是AB的中點，BF⊥CE在f中，那麽S△BFC∶S的平方ABCD等於()。
1∶3 b . 1∶4 c . 1∶5d . 1∶8
9.如圖5.5-21所示，將△ABC的高度AD分成三等份，過各平分線為與底的平行線，使三角形分成三等份。設這三部分的面積分別為S1，S2和S3，則S1: S2: S3等於()。
a . 1∶2∶3 b . 2∶3∶4 c . 1∶3∶5d . 3∶5∶7
10.如圖5.5-22所示，在△ABC，∠CBA = 90°，BD⊥AC在d中，那麽下列關系式中錯誤的是()。
A.BD2 =公元AC B . BD2 =公元DC C.AB2=AC2-BC2 D.AB2=AC BC
第三，回答問題
1.如圖5.5-23所示，∠ 1 = ∠ 2，∠ B = ∠B=∠D，AB = DE = 5，BC = 4。
(1)驗證:△ABC∽△ade；(2)求AD的長度。
2.如圖5.5-24所示，Rt△ABC中∠ c = 90，d中CD⊥AB，驗證Cd2 = ad db。
3.如圖5.5-25所示，在□ABCD中，BC = 2ce，求:S△CEF∶S□ABCD。
4.如圖5.5-26所示，已知ED⊥AB，AC⊥EB，d，c為垂足，g為DE上面的壹點，AG⊥BG，垂足為G.ED，AC滿足f驗證:dg2 = de df。
5.如圖5.5-27所示，在等腰三角形AB=AC，AB = AC中，AD⊥BC在d中，CG‖AB，BG分別在e和f中，證明了BE2 = EF EG
質量優化培訓
如圖5.5-28所示，在△ABC中，BC = 24，高度AD = 12，矩形EFGH的兩個頂點E和F在BC上，另外兩個頂點G和H分別在AC和AB上，EF ∶ EH = 4 ∶ 3。求ef和eh的長度。
生活的實際應用
壹條河的兩岸有平行的壹段。河這邊每隔5米就有壹棵樹，河那邊每隔50米就有壹根電線桿。在離岸邊25米的河對岸看，可以看到對岸相鄰的兩根電線桿剛好被這邊的兩棵樹遮住，中間隔著三棵樹。請詢問這條河的寬度。
知識探究學習
如圖5.5-29所示，瞄準時，要求槍的刻度上的凹口應沿中心A即瞄準點C(上圖)成壹條直線，這樣才能擊中目標。已知沖鋒槍的基線AB長38.5cm。如果射擊距離AC = 100 m，當缺口內瞄準點偏差BB '為1mm時，就會命中偏差。
參考答案
壹、1.1:92 . 3 . 25 4.4平方厘米和9平方厘米5.9: 46.16: 257
. 1∶3 8.2 9.4∶9 10.8厘米、10厘米
二、1 . D2 . B3 . B4 . b5 . D6 . B7 . A8 . C9 . c 10 . d。
三。1.①省略②
2.證書△ACD∽△CBD
3.1∶12
4.先證明△ADF∽△EDB，再證明△AGD∽△GBD。
5.偶數EC，證書△ FEC △ CEG
質量優化培訓ef = 9.6 eh = 7.2
這條河有37.5米寬。
知識探究學習的影響偏差cc’約為26.0cm