公元1858年,德國數學家莫比烏斯(Mobius,1790~1868)和約翰·李斯丁發現:把壹根紙條扭轉180°後,兩頭再粘接起來做成的紙帶圈,具有魔術般的性質。普通紙帶具有兩個面(即雙側曲面),壹個正面,壹個反面,兩個面可以塗成不同的顏色;而這樣的紙帶只有壹個面(即單側曲面),壹只小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣。這種紙帶被稱為“莫比烏斯帶”。(也就是說,它的曲面只有壹個)
拿壹張白的長紙條,把壹面塗成黑色,然後把其中壹端翻壹個身,粘成壹個莫比烏斯帶。用剪刀沿紙帶的中央把它剪開。紙帶不僅沒有壹分為二,反而剪出壹個兩倍長的紙圈。新得到的這個較長的紙圈,本身卻是壹個雙側曲面,它的兩條邊界自身雖不打結,但卻相互套在壹起。把上述紙圈,再壹次沿中線剪開,這回可真的壹分為二了,得到的是兩條互相套著的紙圈,而原先的兩條邊界,則分別包含於兩條紙圈之中,只是每條紙圈本身並不打結罷了。
莫比烏斯帶還有更為奇異的特性。壹些在平面上無法解決的問題,卻不可思議地在莫比烏斯帶上獲得了解決。比如在普通空間無法實現的"手套易位"問題:人左右兩手的手套雖然極為相像,但卻有著本質的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去;也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來。無論妳怎麽扭來轉去,左手套永遠是左手套,右手套也永遠是右手套!不過,倘若妳把它搬到莫比烏斯帶上來,那麽解決起來就易如反掌了。
在自然界有許多物體也類似於手套那樣,它們本身具備完全相像的對稱部分,但壹個是左手系的,另壹個是右手系的,它們之間有著極大的不同。
可以用參數方程式創造出立體莫比烏斯帶
這個方程組可以創造壹個邊長為1半徑為1的莫比烏斯帶,所處位置為
x-y
面,中心為(0,0,0)。參數
u
在
v
從壹個邊移動到另壹邊的時候環繞整個帶子。
從拓撲學上來講,莫比烏斯帶可以定義為矩陣[0,1]×[0,1],邊由在0≤x≤1的時候(x,0)~(1-x,1)決定。
莫比烏斯帶是壹個二維的緊致流形(即壹個有邊界的面),可以嵌入到三維或更高維的流形中。它是壹個不可定向的的標準範例,可以看作RP#RP。同時也是數學上描繪纖維叢的例子之壹。特別地,它是壹個有壹纖維單位區間,I= [0,1]的圓S上的非平凡叢。僅從莫比烏斯帶的邊緣看去給出S上壹個非平凡的兩個點(或Z2)的從。