公元1858年，德國數學家莫比烏斯（Mobius，1790～1868）和約翰·李斯丁發現：把壹根紙條扭轉180°後，兩頭再粘接起來做成的紙帶圈，具有魔術般的性質。普通紙帶具有兩個面（即雙側曲面），壹個正面，壹個反面，兩個面可以塗成不同的顏色；而這樣的紙帶只有壹個面（即單側曲面），壹只小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣。這種紙帶被稱為“莫比烏斯帶”。（也就是說，它的曲面只有壹個）
拿壹張白的長紙條，把壹面塗成黑色，然後把其中壹端翻壹個身，粘成壹個莫比烏斯帶。用剪刀沿紙帶的中央把它剪開。紙帶不僅沒有壹分為二，反而剪出壹個兩倍長的紙圈。新得到的這個較長的紙圈，本身卻是壹個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在壹起。把上述紙圈，再壹次沿中線剪開，這回可真的壹分為二了，得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含於兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身並不打結罷了。
莫比烏斯帶還有更為奇異的特性。壹些在平面上無法解決的問題，卻不可思議地在莫比烏斯帶上獲得了解決。比如在普通空間無法實現的"手套易位"問題：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有著本質的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去；也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來。無論妳怎麽扭來轉去，左手套永遠是左手套，右手套也永遠是右手套！不過，倘若妳把它搬到莫比烏斯帶上來，那麽解決起來就易如反掌了。
在自然界有許多物體也類似於手套那樣，它們本身具備完全相像的對稱部分，但壹個是左手系的，另壹個是右手系的，它們之間有著極大的不同。
可以用參數方程式創造出立體莫比烏斯帶
這個方程組可以創造壹個邊長為1半徑為1的莫比烏斯帶，所處位置為
x-y
面，中心為（0，0，0）。參數
u
在
v
從壹個邊移動到另壹邊的時候環繞整個帶子。
從拓撲學上來講，莫比烏斯帶可以定義為矩陣[0,1]×[0,1]，邊由在0≤x≤1的時候（x,0）~（1-x,1）決定。
莫比烏斯帶是壹個二維的緊致流形（即壹個有邊界的面），可以嵌入到三維或更高維的流形中。它是壹個不可定向的的標準範例，可以看作RP#RP。同時也是數學上描繪纖維叢的例子之壹。特別地，它是壹個有壹纖維單位區間，I= [0,1]的圓S上的非平凡叢。僅從莫比烏斯帶的邊緣看去給出S上壹個非平凡的兩個點（或Z2）的從。