在牛頓時代的所有數學中，牛頓的工作超過了壹半。的確，牛頓在天文學和物理學上取得了巨大的成就，在數學上，從二項式定理到微積分，從代數和數論到經典幾何和解析幾何，有限差分，曲線分類，計算方法和逼近論，甚至概率論，都有創造性的成就和貢獻。
發現二項式定理
1665年，年僅22歲的牛頓發現了二項式定理，這是微積分全面發展必不可少的壹步。二項式定理認為能量是通過直接計算發現的。
二項式級數展開是研究級數理論、函數理論、數學分析和方程理論的有力工具。今天我們會發現這種方法只適用於n為正整數的情況，當n為1，2，3的正整數時，.....，該系列正好在n+1處結束。如果n不是正整數，數列不會結束，此方法不適用。但要知道，萊布尼茨是在1694年才引入函數這個詞的。在微積分的早期階段，用超越函數的層次來對待超越函數是最有效的方法。
創建微積分
牛頓在數學方面最傑出的成就是創立了微積分。他的突出成就是把古希臘以來各種解決無窮小問題的特殊技巧統壹為兩種通用算法——微分和積分，並建立了這兩種運算之間的互逆關系。比如面積計算，可以看作是求切線的逆過程。
當時萊布尼茨剛剛提出微積分的研究報告，就引發了微積分發明專利權的爭論，直到萊布尼茨去世也沒有停止。而後世已經認定，差積是他們同時發明的。
在微積分的方法上，牛頓極其重要的貢獻在於，他不僅清楚地看到了，而且極大地利用了代數所提供的方法論，這比幾何優越得多。他用代數方法代替了卡瓦列裏、格雷戈裏、惠更斯和巴羅的幾何方法，完成了積分的代數化。此後，數學逐漸從感覺的學科轉向思維的學科。
在微產品產生的早期，由於沒有建立起堅實的理論基礎，被別有用心的人利用。這導致了著名的第二次數學危機。這個問題直到19世紀極限理論建立才得以解決。
引入極坐標發展三次曲線理論
牛頓對解析幾何做出了深遠的貢獻。他是極坐標的創始人。第壹個廣泛地研究了高次平面曲線。牛頓證明了如何把壹般的三次方程
在《三次曲線》壹書中，牛頓列出了三次曲線78種可能形式中的72種。這些是最吸引人的；最難的是:正如所有的曲線都可以作為圓的中心投影得到；所有三次曲線都可以用作曲線。
投影的中心。這個定理在1973被證明之前壹直是個謎。
牛頓的三次曲線為研究更高的平面直線奠定了基礎，闡述了漸近線、節點和點的重要性。牛頓在三次曲線上的工作啟發了許多其他關於更高平面曲線的研究工作。
高級方程理論，開放變分法
牛頓還對代數做出了經典貢獻，他的廣義算術極大地促進了方程理論。他發現實多項式的虛根必須成對出現，並發現了多項式根的上界規律。他用多項式的系數表示了多項式的根的和公式，並給出了限制實多項式虛根個數的笛卡兒符號法則的推廣。
牛頓還設計了求數值方程和超越方程的實根的近似值的對數的方法。這種方法的修改現在被稱為牛頓法。
牛頓在力學領域也有重大發現，力學是解釋物體運動的科學。第壹運動定律是伽利略發現的。這個定律說明，如果壹個物體處於靜止或勻速直線運動，只要沒有外力，它就會保持靜止或繼續勻速直線運動。這個定律也被稱為慣性定律，它描述了力的壹個性質:力可以使壹個物體從靜止運動到運動，從運動到靜止，也可以使壹個物體從壹種運動形式變為另壹種運動形式。這就是所謂的牛頓第壹定律。力學中最重要的問題是物體在相似的情況下如何運動。牛頓第二定律解決了這個問題；這個定律被認為是經典物理中最重要的基本定律。牛頓第二定律定量描述了力可以改變物體的運動。表示速度的時間變化率(即加速度A與力F成正比，但與物體質量成反比，即a=F/m或F = Ma力越大，加速度越大；質量越大，加速度越小。力和加速度都有大小和方向。加速度是由力引起的，方向與力相同；如果有幾個力作用在壹個物體上，合力就會產生加速度。第二定律是最重要的，所有的冪的基本方程都可以通過微積分從中推導出來。
此外，牛頓根據這兩個定律制定了第三定律。牛頓第三定律指出，兩個物體之間的相互作用總是大小相等，方向相反。對於直接接觸的兩個物體來說，這個定律更容易理解。書對子桌子的向下壓力等於桌子對書的向上支撐，即作用力等於反作用力。重力也是如此。飛行中的飛機拉起地球的力在數值上等於地球拉下飛機的力。牛頓運動定律廣泛應用於科學和動力學中。
初等平面幾何
公理
1任意兩個不同的點確定壹條穿過它們的直線。
設AB為給定線段，OX為已知射線，則射線OX上只有壹個點C，這樣線段OC=AB。
可以移動幾何圖形而不改變其形狀和大小。
4平行公理:通過已知直線外的壹點，最多可以畫出壹條與已知直線平行的直線。
5阿基米德公理:給定線段AB & gtCD，當用後者來度量前者時，被度量幾次後總會超過前者，或者壹定有正整數n，使得(n-1)CD≤AB≤Ncd。
雙軸對稱和中心對稱
1的軸對稱:沿著壹條直線對折，直線兩邊的部分完全重合。這條直線叫對稱軸，能重合在壹起的點叫對稱點。如果這是壹個圖，就叫軸對稱圖。(例如等腰三角形)
性質:對稱點的垂線是對稱軸。
2中心對稱:兩個圖形繞壹個中心旋轉180°可以相互重疊。這個點叫做對稱中心，可以重疊的點叫做對稱點。如果這是壹個圖，則稱它為中心對稱圖。(例如平行四邊形)
性質:對稱點的中點是對稱的中心。
三個基本概念
中間垂直線的平分線和1線段的角度
(1)中垂線的性質：
1的垂線上的任意壹點與線段兩端的距離相等。
2與線段兩端等距的所有點都在中間垂線上。
(2)角平分線的性質:
1°角平分線上的任壹點與同壹個角的兩邊等距。
2在壹個角的兩邊等距的所有點都在角的平分線上。
2視角
(1)線段的視角:當從壹點發出兩條光線穿過已知線段的兩端時，這兩條光線所形成的角度稱為該點對已知線段的視角。
(2)點到圓的透視:從圓外的壹點畫出的兩條切線(視為射線)，這兩條切線之間的夾角稱為點到圓的透視。
三個全等三角形
1判定定理:s . a . s . a . s . a . a . s . s . a(大棱角)
S.s.a:兩個三角形必全等，如果兩個邊和它們的大邊的對角線對應相等。
證:A/Sina = A1/Sina 1，B/SINB = B1∈(0/SINB 1，若A和A1都是大面，則a = A1，B = B65438。
Max (b，b1) ≥ 90，與B，b1是小矛盾，所以B=B1。
註意:小棱角無效。
2全等直角三角形:
(1)直角邊，直角邊
(2)直角斜邊
(3)直角邊、相鄰角或相對銳角
(4)銳角斜邊
四條平行線
1的存在定理:在壹個平面上，垂直於壹條已知直線的兩條直線互相平行。
2判定定理:已知的兩條直線被第三條直線所截。如果下列條件之壹成立，則兩條已知直線相互平行:
1等腰角相等。
2內部位錯角度相等。
3與同側內角互補。
3性質定理:如果兩條直線被第三條直線切割，那麽它就形成了。
1等腰角相等。
2內部位錯角度相等。
3與同側內角互補。
推論:(1)如果兩條直線垂直於兩條平行線中的壹條，則它們也垂直於另壹條。
(2)相貫線的垂線也相交。
4平行切割定理:
(1)兩條直線被壹組平行線切割。如果在壹條線上切割的線段相等，則在另壹條線上切割的線段也相等。
如果兩條直線被壹組剖切線切割成相等的線段，並且其中兩條剖切線平行，則所有剖切線相互平行。(註意不是1的逆定理)
(2)角平行切割定理:壹個角的兩邊都被平行線切割。如果在壹側切割的線段相等，則在另壹側切割的線段也相等。
角度平行切割定理逆定理:壹個角度的兩條邊被壹組切割線切割成相等的線段，那麽所有的切割線互相平行。
(3)關於比例的平行切割定理:
1兩條直線被壹條平行於第三邊的直線切割，切割的線段必須成比例。
2如果兩條直線被壹組截線按比例截開，且其中兩條截線平行，則所有截線相互平行。
3三角形的兩條邊被壹組平行線切割，切割的線段必須成比例。
4逆定理:如果三角形的兩條邊與直線切割的線段成正比，那麽這條直線與第三條邊平行。
(4)中線定理
1的任意壹個三角形的中線平行於第三條邊，等於這條邊的壹半。
2梯形的中線平行於底部，等於兩個底部之和的壹半。
五個圖形
(1)三角形
1外角定理:三角形的每個外角都大於任何壹條內對角線。
2等腰三角形:四條線合二為壹
3三角形不等式定理:
(1)大邊對大角，大角對大邊。
(2)在三角形中，任何壹條邊小於其他兩條邊之和，大於它們之差。
推論:對於任意三個點a，b，c，總有∣AB-AC∣≤BC≤AB+AC.
(3)如果兩個三角形有兩條相等的邊，那麽
1的角度大，對面大。
2第三邊更大，對角線更大。
4五顆心
(1)外圓心:三邊垂線的交點也是外接圓的圓心。
(2)重心:三邊中線的交點。
(3)垂直中心:三條高線的交點(且三個頂點形成垂直中心組)
(4)內心:三個內角平分線的交點也是內切圓的圓心。
(5) Paracenter:壹個內角和另兩個內角的壹個外角的三條平分線的交點有三點，也是切圓的圓心。
內角和外角平分線定理:設三角形及其外角的平分線與對邊及其延長線相交，則交點分別分為內對邊和外對邊，得分比等於兩鄰邊之比。(逆定理存在)
6正三角形:PA≤PB+PC，當P位於其外接圓中與A點相對的圓弧BC上時，取等號。
(2)平行四邊形
1定義:兩對對邊相互平行的四邊形。
2性質定理:
1兩對對邊相等。
2兩對對角相等。
三條對角線平分。
3判定定理:具有下列條件之壹的四邊形必是平行四邊形。
1兩對對邊相等。
2兩對對角相等。
三條對角線平分。
4壹對對邊平行且相等。
4矩形:等角平行四邊形(兩條對角線相等，連接對邊中點的線為對稱軸)
菱形:等邊平行四邊形(兩條對角線平分，對角線對稱)
正方形:既是矩形又是菱形的四邊形(4個對稱軸)。
③梯形
1定義:有壹對對邊平行的四邊形。
2等腰梯形:兩腰相等，兩底角相等，對角線相等，兩底中點連線為對稱軸。
(4)多邊形
1內角之和:(n-2) * 180，外角之和:360。
正多邊形:邊和角相等的多邊形。
(5)圓
1對稱:以圓心為對稱中心，任意直徑為對稱軸。
2不等式定理:弧、弦、圓心角、弦心距l = r θ = (n 180) * 2π r。
3切線定理
(1)圓的切線垂直於切點的半徑。
(2)通過圓半徑外端並垂直於該半徑的直線為圓的切線。
(3)從圓外壹點畫出的兩條切線長度相等，從該點到圓心畫出的射線平分該點到圓的視角。
(4)公切線定理:兩個圓的兩條外切線等長，兩條內公切線也等長。
(5)兩圓相切定理:
1相切兩個圓的切點在連線上，反之，兩個圓連線上的同壹點必相切。
2的外接圓的充要條件是OO'= R+R'+R '，內切圓的充要條件是oo ' =∣r-r ′∣.
4圓周角:頂點在圓上，兩邊與圓相交的角。
(在圓中，同壹圓弧對著的圓周角等於對著的圓心角的壹半)
弦角:壹邊與圓相交，另壹邊與圓在頂點相切的角度。
(圓的正切角等於它所包含的弧的圓周角)
圓內角:圓內頂點的角度。
(圓的內角等於其自身所對的圓周角和頂角中包含的弧的總和)
圓的外角:頂點在圓外，兩邊與圓有公共點的角。
(圓的外角等於它所包含的兩個圓弧的圓周角之差)
總結:1是同弧:圓的內角>；圓周角=弦切角>圓的外角
2如果壹個角和壹個圓的兩邊有公共點，並且等於圓的角，那麽這個角的頂點壹定在圓上。
5圓內接四邊形:對角互補。(逆定理存在)
圓形外切四邊形:對邊和相等。(逆定理存在)
6圓冪定理:給定圓o，若任壹割線通過點p穿過a和b，則
P=PA*PB=∣PO2-R2∣，設p’= PO2-R2，p’的這個值叫做點p對圓o的冪，具體來說，圓外壹點的冪為正，圓內壹點的冪為負，圓上壹點的冪為零。
7四* * *圈判斷:
(1)對角互補四邊形
(2)兩個點以相等的視角指向壹條線段
(3)冪定理:PA*PB=PC*PD。
六個相似的三角形
1基本定理:平行於三角形壹邊並與其他兩邊相交的直線，割出的三角形與原三角形相似。
2判定定理:兩個三角形若滿足下列條件之壹，則必相似:
(1)兩對對應的角度相等(平均)
(2)壹對對應的角相等，它們的邊成比例
(3)三對相應的邊成比例(s.s.s)
(4)兩對相應的邊成比例，並且主邊的對角線相等(S.s.a)
3相似三角形中任意壹對對應線段(如對應的高度、中線、角平分線)之比等於相似比。
七個領域
s(平行四邊形)=ah=absinα
s(矩形)=ab
s(diamond)= ah = absinα=(1/2)l 1 L2。
S (square) =a2= (1/2)l2
s(三角形)=(1/2)ah =(1/2)ABS Inc .
s(圓)=πR2
s(扇區)=(n/360)πR2 =(1/2)θR ^ 2。
s(bow)=(1/2)R2(απ/180-sinα)
貝裏席納爾公式:S(四邊形)=(1/4)[4e2f 2-(A2-B2+C2-D2)2]1/2。
Brahmagudda公式:s(內接於圓的四邊形)=[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]1/2(s為半圈)。
海倫公式:s(三角形)= [s(s-a)(s-b)(s-c)] 1/2。
八個基本軌跡:
與兩個已知點等距的1的軌跡是這兩個點之間連線的中間垂直線。
在壹個已知的角內，兩邊等距的點的軌跡就是這個角的平分線。
與兩條平行的已知直線等距的點的軌跡是壹條直線，它與這兩條已知直線平行，並與它們等距。
到已知直線的距離為固定長度的點的軌跡是在已知直線的兩側且平行於已知直線的壹對直線，其中到每條已知直線的距離等於固定長度。
5到定點的距離等於定長點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓。
對於某壹線段，視角等於固定角的點的軌跡是以該固定線段為弦的雙圓弧。
7對於某壹線段，視角等於直角的點的軌跡是以該固定線段為直徑的圓。
九個特殊概念
1歐拉線:三角形的外中心、重心和垂直中心的線。
(重心到壹邊的距離等於對面頂點到垂直中心距離的壹半)
牛頓線:壹個完整四邊形的三條對角線的中點。
3米克點:壹個完全四邊形的邊相交成四個三角形，它們的外接圓是* * *點。
4西摩松木線:
(1)三角形三邊上的點或其延長線的正投影線的充要條件是:點在三角形的外接圓上。正投影所在的直線稱為三角形在某壹點的辛普森線。
(2)四邊完全四邊形的米克點的正投影線。這條線叫做完全四邊形的辛普森線。
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