∴AB=BC,∠BAC=∠BCA=60°. (1分)
∵四邊形ACDE是等腰梯形,∠EAC=60°,
∴AE=CD,∠ACD=∠CAE=60°,
∴∠BAC+∠CAE=120°=∠BCA+∠ACD,
即∠BAE=∠BCD.(2分)
在△ABE和△BCD中,AB=BC,∠BAE=∠BCD,AE=CD,
∴△ABE≌△CBD.(3分)
(2)存在.答案不唯壹.如△ABN∽△CDN.
證明:∵∠BAN=60°=∠DCN,∠ANB=∠DNC,
∴△ANB∽△CND.(5分)
其相似比為:
ABDC=
21=2;(6分)
(3)由(2)得
ANCN=
ABCD=2,
∴CN=
12AN=
13AC,(8分)
同理AM=
13AC,
∴AM=MN=NC.(9分)
(4)作DF⊥BC交BC的延長線於F,
∵∠BCD=120°,
∴∠DCF=60°.(1O分)
在Rt△CDF中,∴∠CDF=30°,
∴CF=
12CD=
12,
∴DF=
CD2-CF2=
12-(12)2=
32; (11分)
在Rt△BDF中,∵BF=BC+CF=2+
12=
52,DF=
32,
∴BD=
BF2+DF2=
(52)2+(32)2=
7.(12分)