有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用較簡單的問題代替復雜問題後再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每壹單元假定壹個合適的(較簡單的）近似解，然後推導求解這個域總的滿足條件(如結構的平衡條件），從而得到問題的解。這個解不是準確解，而是近似解，因為實際問題被較簡單的問題所代替。由於大多數實際問題難以得到準確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應各種復雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。
英文：Finite Element 有限單元法是隨著電子計算機的發展而迅速發展起來的壹種現代計算方法。它是50年代首先在連續體力學領域--飛機結構靜、動態特性分析中應用的壹種有效的數值分析方法，隨後很快廣泛的應用於求解熱傳導、電磁場、流體力學等連續性問題。 有限元法分析計算的思路和做法可歸納如下：
編輯本段1） 物體離散化
將某個工程結構離散為由各種單元組成的計算模型，這壹步稱作單元剖分。離散後單元與單元之間利用單元的節點相互連接起來；單元節點的設置、性質、數目等應視問題的性質，描述變形形態的需要和計算進度而定（壹般情況單元劃分越細則描述變形情況越精確，即越接近實際變形，但計算量越大）。所以有限元中分析的結構已不是原有的物體或結構物，而是同新材料的由眾多單元以壹定方式連接成的離散物體。這樣，用有限元分析計算所獲得的結果只是近似的。如果劃分單元數目非常多而又合理，則所獲得的結果就與實際情況相符合。
編輯本段2） 單元特性分析
A、 選擇位移模式 在有限單元法中，選擇節點位移作為基本未知量時稱為位移法；選擇節點力作為基本未知量時稱為力法；取壹部分節點力和壹部分節點位移作為基本未知量時稱為混合法。位移法易於實現計算自動化，所以，在有限單元法中位移法應用範圍最廣。 當采用位移法時，物體或結構物離散化之後，就可把單元總的壹些物理量如位移，應變和應力等由節點位移來表示。這時可以對單元中位移的分布采用壹些能逼近原函數的近似函數予以描述。通常，有限元法我們就將位移表示為坐標變量的簡單函數。這種函數稱為位移模式或位移函數。 B、 分析單元的力學性質 根據單元的材料性質、形狀、尺寸、節點數目、位置及其含義等，找出單元節點力和節點位移的關系式，這是單元分析中的關鍵壹步。此時需要應用彈性力學中的幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式，從而導出單元剛度矩陣，這是有限元法的基本步驟之壹。 C、 計算等效節點力 物體離散化後，假定力是通過節點從壹個單元傳遞到另壹個單元。但是，對於實際的連續體，力是從單元的公***邊傳遞到另壹個單元中去的。因而，這種作用在單元邊界上的表面力、體積力和集中力都需要等效的移到節點上去，也就是用等效的節點力來代替所有作用在單元上的力。
編輯本段3） 單元組集
利用結構力的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的結構重新連接起來，形成整體的有限元方程 （1-1） 式中，K是整體結構的剛度矩陣；q是節點位移列陣；f是載荷列陣。
編輯本段4） 求解未知節點位移
解有限元方程式（1-1）得出位移。這裏，可以根據方程組的具體特點來選擇合適的計算方法。 通過上述分析，可以看出，有限單元法的基本思想是"壹分壹合"，分是為了就進行單元分析，合則為了對整體結構進行綜合分析。 有限元的發展概況 1943年 courant在論文中取定義在三角形域上分片連續函數，利用最小勢能原理研究St.Venant的扭轉問題。 1960年 clough的平面彈性論文中用“有限元法”這個名稱。 1965年 馮康發表了論文“基於變分原理的差分格式”，這篇論文是國際學術界承認我國獨立發展有限元方法的主要依據。 1970年 隨著計算機和軟件的發展，有限元發展起來。 涉及的內容：有限元所依據的理論，單元的劃分原則，形狀函數的選取及協調性。 有限元法涉及：數值計算方法及其誤差、收斂性和穩定性。 應用範圍：固體力學、流體力學、熱傳導、電磁學、聲學、生物力學 求解的情況：桿、梁、板、殼、塊體等各類單元構成的彈性（線性和非線性）、彈塑性或塑性問題（包括靜力和動力問題）。能求解各類場分布問題（流體場、溫度場、電磁場等的穩態和瞬態問題），水流管路、電路、潤滑、噪聲以及固體、流體、溫度相互作用的問題。
編輯本段5）有限元的未來是多物理場耦合
5）有限元的未來是多物理場耦合 隨著計算機技術的迅速發展，在工程領域中，有限元分析（FEA）越來越多地用於仿真模擬，來求解真實的工程問題。這些年來，越來越多的工程師、應用數學家和物理學家已經證明這種采用求解偏微分方程（PDE）的方法可以求解許多物理現象，這些偏微分方程可以用來描述流動、電磁場以及結構力學等等。有限元方法用來將這些眾所周知的數學方程轉化為近似的數字式圖象。 早期的有限元主要關註於某個專業領域，比如應力或疲勞，但是，壹般來說，物理現象都不是單獨存在的。例如，只要運動就會產生熱，而熱反過來又影響壹些材料屬性，如電導率、化學反應速率、流體的粘性等等。這種物理系統的耦合就是我們所說的多物理場，分析起來比我們單獨去分析壹個物理場要復雜得多。很明顯，我們現在需要壹個多物理場分析工具。 在上個世紀90年代以前，由於計算機資源的缺乏，多物理場模擬僅僅停留在理論階段，有限元建模也局限於對單個物理場的模擬，最常見的也就是對力學、傳熱、流體以及電磁場的模擬。看起來有限元仿真的命運好像也就是對單個物理場的模擬。 現在這種情況已經開始改變。經過數十年的努力，計算科學的發展為我們提供了更靈巧簡潔而又快速的算法，更強勁的硬件配置，使得對多物理場的有限元模擬成為可能。新興的有限元方法為多物理場分析提供了壹個新的機遇，滿足了工程師對真實物理系統的求解需要。有限元的未來在於多物理場求解。 千言萬語道不盡，下面只能通過幾個例子來展示多物理場的有限元分析在未來的壹些潛在應用。 壓電擴音器（Piezoacoustic transducer）可以將電流轉換為聲學壓力場，或者反過來，將聲場轉換為電流場。這種裝置壹般用在空氣或者液體中的聲源裝置上，比如相控陣麥克風，超聲生物成像儀，聲納傳感器，聲學生物治療儀等，也可用在壹些機械裝置比如噴墨機和壓電馬達等。 壓電擴音器涉及到三個不同的物理場：結構場，電場以及流體中的聲場。只有具有多物理場分析能力的軟件才能求解這個模型。 壓電材料選用PZT5-H晶體，這種材料在壓電傳感器中用得比較廣泛。在空氣和晶體的交界面處，將聲場邊界條件設置為壓力等於結構場的法向加速度，這樣可以將壓力傳到空氣中去。另外，晶體域中又會因為空氣壓力對其的影響而產生變形。仿真研究了在施加壹個幅值200V，震蕩頻率為300 KHz的電流後，晶體產生的聲波傳播。這個模型的描述及其完美的結果表明在任何復雜的模型下，我們都可以用壹系列的數學模型進行表達，進而求解。 多物理場建模的另外壹個優勢就是在學校裏，學生們直觀地獲取了以前無法見到的壹些現象，而簡單易懂的表達方式也獲得了學生們的好感。這只是Krishan Kumar Bhatia博士在紐約Glassboro的Rowan 大學給高年級的畢業生講授傳熱方程課程時介紹建模及分析工具所感受到的，他的學生的課題是如何冷卻壹個摩托車的發動機箱。Bhatia博士教他們如何利用“設計－制造－檢測”的理念來判斷問題、找出問題、解決問題。如果沒有計算機仿真的應用，這種方法在課堂上推廣是不可想象的，因為所需費用實在是太大了。 COMSOL Multiphysics擁有優秀的用戶界面，可以使學生方便地設置傳熱問題，並很快得到所需要的結果。“我的目標是使每個學生都能了解偏微分方程，當下次再遇到這樣的問題時，他們不會再擔心，” Bhatia博士說，“這不需要了解太多的分析工具，總的來說，學生都反映‘這個建模工具太棒了’”。 很多優秀的高科技工程公司已經看到多物理場建模可以幫助他們保持競爭力。多物理場建模工具可以讓工程師進行更多的虛擬分析而不是每次都需要進行實物測試。這樣，他們就可以快速而經濟地優化產品。在印度尼西亞的Medrad Innovations Group中，由John Kalafut博士帶領著壹個研究小組，采用多物理場分析工具來研究細長的註射器中血細胞的註射過程，這是壹種非牛頓流體，而且具有很高的剪切速率。 通過這項研究，Medrad的工程師制造了壹個新穎的裝置稱為先鋒型血管造影導管（Vanguard Dx Angiographic Catheter）。同采用尖噴嘴的傳統導管相比，采用擴散型噴嘴的新導管使得造影劑分布得更加均勻。造影劑就是在進行X光拍照時，將病變的器官顯示得更加清楚的特殊材料。 另外壹個問題就是傳統導管在使用過程中可能會使得造影劑產生很大的速度，進而可能會損傷血管。先鋒型血管造影導管降低了造影劑對血管產生的沖擊力，將血管損傷的可能性降至最低。 關鍵的問題就是如何去設計導管的噴嘴形狀，使其既能優化流體速度又能減少結構變形。Kalafut的研究小組利用多物理場建模方法將層流產生的力耦合到應力應變分 析中去，進而對各種不同噴嘴的形狀、布局進行流固耦合分析。“我們的壹個實習生針對不同的流體區域建立不同的噴嘴布局，並進行了分析，” Kalafut博士說，“我們利用這些分析結果來評估這些新想法的可行性，進而降低實體模型制造次數”。 摩擦攪拌焊接（FSW），自從1991年被申請專利以來，已經廣泛應用於鋁合金的焊接。航空工業最先開始采用這些技術，現在正在研究如何利用它來降低制造成本。在摩擦攪拌焊接的過程中，壹個圓柱狀具有軸肩和攪拌頭的刀具旋轉插入兩片金屬的連接處。旋轉的軸肩和攪拌頭用來生熱，但是這個熱還不足以融化金屬。反之，軟化呈塑性的金屬會形成壹道堅實的屏障，會阻止氧氣氧化金屬和氣泡的形成。粉碎，攪拌和擠壓的動作可以使焊縫處的結構比原先的金屬結構還要好，強度甚至可以到原來的兩倍。這種焊接裝置甚至可以用於不同類型的鋁合金焊接。 空中客車（AirBus）資助了很多關於摩擦攪拌焊接的研究。在制造商大規模投資和重組生產線之前，Cranfield大學的Paul Colegrove博士利用多物理場分析工具幫助他們理解了加工過程。 第壹個研究成果是壹個摩擦攪拌焊接的數學模型，這讓空客的工程師“透視”到焊縫中來檢查溫度分布和微結構的變化。Colegrove博士和他的研究小組還編寫了壹個帶有圖形界面的仿真工具，這樣空客的工程師可以直接提取材料的熱力屬性以及焊縫極限強度。 在這個摩擦攪拌焊接的模擬過程中，將三維的傳熱分析和二維軸對稱的渦流模擬耦合起來。傳熱分析計算在刀具表面施加熱流密度後，結構的熱分布。可以提取出刀具的位移，熱邊界條件，以及焊接處材料的熱學屬性。接下來將刀具表面處的三維熱分布映射到二維模型上。耦合起來的模型就可以計算在加工過程中熱和流體之間的相互作用。 將基片的電磁、電阻以及傳熱行為耦合起來需要壹個真正的多物理場分析工具。壹個典型的應用是在半導體的加工和退火的工藝中，有壹種利用感應加熱的熱壁熔爐，它用來讓半導體晶圓生長，這是電子行業中的壹項關鍵技術。 例如，金剛砂在2,000°C的高溫環境下可以取代石墨接收器，接收器由功率接近10KW的射頻裝置加熱。在如此高溫下要保持爐內溫度的均勻，爐腔的設計至關重要。經過多物理場分析工具的分析，發現熱量主要是通過輻射的方式進行傳播的。在模型內不僅可以看到晶圓表面溫度的分布，還可以看到熔爐的石英管上的溫度分布。 在電路設計中，影響材料選擇的重要方面是材料的耐久性和使用壽命。電器小型化的趨勢使得可在電路板上安裝的電子元件發展迅猛。眾所周知，安裝在電路板上的電阻以及其他壹些元件會產生大量的熱，進而可能使得元件的焊腳處產生裂縫，最後導致整個電路板報廢。 多物理場分析工具可以分析出整個電路板上熱量的轉移，結構的應力變化以及由於溫度的上升導致的變形。這樣做可以用來提升電路板設計的合理性以及材料選擇的合理性。 計算機能力的提升使得有限元分析由單場分析到多場分析變成現實，未來的幾年內，多物理場分析工具將會給學術界和工程界帶來震驚。單調的“設計－校驗”的設計方法將會慢慢被淘汰，虛擬造型技術將讓妳的思想走得更遠，通過模擬仿真將會點燃創新的火花。